摘要：n元函数f(x1, x2,。, xn)在定义域D上的多重积分通常用嵌套的积分号按照演算的逆序标识（最左边的积分号最后计算），后面跟着被积函数和正常次序的积分变量（最右边的变量最后使用）。积分域或者对每个积分变量在每个积分号下标识，或者用一个变量标在最右边的积分号下： ∫ 。 ∫ D f ( x 1 , x 2。...n元函数f(x1, x2,。, xn)在定义域D上的多重积分通常用嵌套的积分号按照演算的逆序标识（最左边的积分号最后计算），后面跟着被积函数和正常次序的积分变量（最右边的变量最后使用）。积分域或者对每个积分变量在每个积分号下标识，或者用一个变量标在最右边的积分号下： ∫ 。 ∫ D f ( x 1 , x 2。
}e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}} 高斯积分用处很广。例如，利用换元积分法，它可以用来计算正态分布的归一化常数。在极限为有限值的时候，高斯积分与正态分布的误差函数和累积分布函数密切相关。在物理学中，这种积分也经常出现：例如在量子力学中，谐振子基态的概率密度；在路径积分。
} e ^ { - x ^ { 2 } } d x = { \ s q r t { \ p i } } } gao si ji fen yong chu hen guang 。 li ru ， li yong huan yuan ji fen fa ， ta ke yi yong lai ji suan zheng tai fen bu de gui yi hua chang shu 。 zai ji xian wei you xian zhi de shi hou ， gao si ji fen yu zheng tai fen bu de wu cha han shu he lei ji fen bu han shu mi qie xiang guan 。 zai wu li xue zhong ， zhe zhong ji fen ye jing chang chu xian ： li ru zai liang zi li xue zhong ， xie zhen zi ji tai de gai lv mi du ； zai lu jing ji fen 。
积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。 积分方程最基本的形式为第一类弗里德霍姆方程： f ( x ) = ∫ a b K ( x , t ) ϕ ( t ) d t , {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x。
在测度论中，法图引理说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。 设 ( S , Σ , μ ) {\displaystyle (S,\Sigma。
分部积分法又称作部分积分法（英语：Integration by parts），是一种积分的技巧。它是由微分的乘法定则和微积分基本定理推导而来的。其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等价的但易于求出结果的积分形式。 假设 h ( x ) {\displaystyle h(x)\ } 与 k。
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{1}{x^{3}}}\right).} 的函数的时候，希望能够为它们定义积分。这种函数往往在某一点附近无法定义黎曼积分，但是用类似极限定义的 ε − δ 方法又能够定义出类似黎曼积分的极限。 为了给这类函数定义积分，当茹瓦将黎曼不可积的点分为若干种情形，分别用超限归纳法来定义积分。这样的定义繁复冗长。。
在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英语：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。 让函数 f {\displaystyle f} 为定义在区间 [ a , b ] {\displaystyle。
由于列表比较长，积分表被分为以下几个部分： 有理函数积分表 无理函数积分表 指数函数积分表 对数函数积分表 高斯函数积分表 三角函数积分表 反三角函数积分表 双曲函数积分表 反双曲函数积分表 ∫ ( a x + b ) n d x = ( a x + b ) n + 1 a ( n + 1 ) +。
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{\displaystyle \int } 是数学中用来表示积分的符号。此符号由德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz）于17世纪末开始使用。此符号的形状基于ſ（长s）字符，因为积分是一种极限的求和（sum），故此选用ſ作为积分符号的基础。 ∫符号的Unicode代码是U+222B，在LaTeX中的代码是。
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在数学中，线积分（英语：Line integral）是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是被称为积分路径的特定曲线。 在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。当被积函数是纯量函数时，积分的值是积分路径各点上的函数值乘上该点切向量的长度，在被积分函数是向量函数时，积分值是积分。
积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出，因此习惯上我们常见的积分也称为“黎曼积分”。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分。
在实分析或数学分析中，达布积分是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布（Jean Gaston。
在数值分析中，数值积分（英语：Numerical integration）是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。。
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极限（英语：Limit）是数学分析或微积分的重要基础概念，连续和导数都是通过极限来作定义。极限分为描述一个序列的下標愈来越大时的趋势（序列极限），或是描述函数的自变量接趋近某个值时的函数值的趋势（函数极限）。 函数极限可以推广到网中，而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关。 以数列 a n。
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数列极限（英语：limit of a sequence）为某些数列才拥有的特殊值，当数列的下標越来越大的时候，数列的值也就越接近那个特殊值。 极限的定义 — 取一复数数列 { z i ∈ C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in。
积分判别法，又称柯西积分判别法、麦克劳林-柯西判别法，是判断一个实级数或数列收敛的方法。当 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 非负递减时，级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)} 收歛当且仅当积分。
数学上，曲面积分，也称为面积分（英语：Surface integral），是在曲面上的定积分（曲面可以是空间中的弯曲子集）；它可以视为和线积分相似的双重积分。给定一个曲面，可以在上面对标量场（也就是实数值的函数）进行积分，也可以对向量场（也就是向量值的函数）积分。 面积分在物理中有大量应用，特别是在电磁学的经典物理学中。。
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广义积分，又称为反常积分、异常积分（英语：Improper integral ），是对普通定积分的推广。 广义积分可以分成两类，第一类又称为无穷积分，指积分区间的上限或下限为无穷的积分。第二类称为瑕积分，指被积函数在积分区间中含有不连续点的积分。 第一类反常积分是无穷积分，指积分区间的上限或下限中含有无穷。
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积分运算的集合（可测空间）。 最早的积分运算对于非负值的函数来说，其积分相当于使用求极限的手段来计算一个多边形的面积，但这过程需要函数足够规则。但是随着对更加不规则的函数的积分运算的需要不断产生，很快就产生了对更加广义的求极限手段的要求来定义相应的积分运算。。
{\displaystyle 0} 到 t {\displaystyle t} 的积分结果是一个隨机变数。此隨机变数定义为一特定隨机变数序列的极限（有许多等效的方式可建构上述的定义）。 伊藤积分是对半鞅X以及随机过程H的积分 ∫ 0 t H d X = lim n → ∞ ∑ t i − 1 , t i。
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