摘要：狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数，其图像关于 y{\displaystyle y} 轴成轴对称，是一个偶函数。它处处不连续、处处极限不存在、不可积分。 在数学领域，这是一个病態函数。作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限，並且以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数。...狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数，其图像关于 y{\displaystyle y} 轴成轴对称，是一个偶函数。它处处不连续、处处极限不存在、不可积分。 在数学领域，这是一个病態函数。作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限，並且以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数。
p{\displaystyle p}进数（英语：p-adic number），是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域Q{\displaystyle \mathbb {Q} }到实数域R{\displaystyle \mathbb {R} }、复数域C{\displaystyle。
p { \ d i s p l a y s t y l e p } jin shu （ ying yu ： p - a d i c n u m b e r ） ， shi shu lun zhong de gai nian ， ye cheng zuo ju bu shu yu ， shi you li shu yu tuo zhan cheng de wan bei shu yu de yi zhong 。 zhe zhong tuo zhan yu chang jian de you li shu yu Q { \ d i s p l a y s t y l e \ m a t h b b { Q } } dao shi shu yu R { \ d i s p l a y s t y l e \ m a t h b b { R } } 、 fu shu yu C { \ d i s p l a y s t y l e 。
质量”或“长度”？作为一个例子，我们可能要问，有理数集的质量是什么。它们在实数轴上十分均匀地分布，因此我们就可能要猜想，有理数集就是没有质量的。 解决方法是使用测度论。在这个背景下，勒贝格测度把质量b − a分配于区间[a, b]，而把质量0分配于有理数集。任何一个有确定质量的集合都称为“可测”的。。
(｀▽′)
丢番图分析（英语：Diophantine approximation）是数论的一个分支。最经典的丢番图逼近主要用於有理数逼近实数，亦即实数的有理逼近相关问题。其中有理数一般用分数形式表达，且一律要求分子为整数，分母为正整数，通常要求是既约分数。 丢番图逼近的名称源于古希腊数学家丢番图。这是因为有理。
●＾●
b≠0{\displaystyle b\neq 0}）被定义为有理数，例如38{\displaystyle {\frac {3}{8}}}，0.75(可被表达为34{\displaystyle {\frac {3}{4}}})；整数和整数分数统称为有理数。 与有理数相对的是无理数，如2{\displaystyle。
\mathbb {N} }是等势的； 有理数Q{\displaystyle \mathbb {Q} }与自然数N{\displaystyle \mathbb {N} }是等势的（所有有理数与自然数是“一样多”的）； 然而，无理数R−Q{\displaystyle。
833 333 。 {\displaystyle {\frac {11}{6}}=1.833\ 333\ldots } 等。无限循环小数属于有理数，可以化成分数形式。 无限不循环小数：小数部分有无限多个数字，且没有依次不断地重复出现的几个数字或几个数字的小数叫做无限不循环小数，如 π = 3。
0。所以判定一个给定的数是否是超越数，实际上是代数独立的一个特例，其中n = 1，域K是有理数域。 一个相关的概念是数是否存在封闭形式的表达式，包括指数和对数以及代数运算。“封闭形式”有多种定义，关于封闭形式的问题往往可以简化为关于超越的问题。 以超越来这术语来指称非代数的对象可以追溯到 17。
{2}})^{2}=2.} 为有理数，得证。 希尔伯特的第七个问题是要证明（或找出反例），如果a是一个不等于0或1的代数数，b是一个无理代数数，则ab总是超越数。他给出了两个例子，其中一个就是 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}} 。 1919年，他发表了一个关于数论的演讲，谈到了三个猜想：黎曼猜想、费马大定理和。
P_{1}}和P2{\displaystyle P_{2}}是两个多项式）。有理数域Q{\displaystyle \mathbb {Q} }和所有因为z而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域，称为Q{\displaystyle \mathbb {Q} }关于z的扩张，记作Q(z){\displaystyle \mathbb。
h}或k{\displaystyle k}一定是可逆元。 高斯整数环是Z{\displaystyle \mathbf {Z} }在高斯有理数域中的整闭包，由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。 在图中很容易看到，每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为22{\displaystyle {\frac {\sqrt。
ˇ▽ˇ
尼云定理（Niven's theorem）说的是，在 0~90° 范围内，如果正弦函数 sin 的自变量和因变量都要求是有理数，那么答案只有： sin 0 ∘ = 0 {\displaystyle \sin 0^{\circ }=0} 。 sin 30 ∘ = 1 2 {\displaystyle。
{\displaystyle x^{y}} 是有理数。 证明：考虑 2 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} ，若它是有理数，则命题得证。若 2 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} 不是有理数，则一定是无理数。考虑它的 2。
集合（代数结构），且其加法跟乘法运算就如同普通的有理数还有实数。事实上，体正是数域以及四则运算的推广，所以被广泛运用在代数、数论等数学领域中。 体是环的一种。但区別在於域要求它的非零元素可以做除法，且体的乘法有交换律。 最有名的体结构的例子就是有理数体、实数体还有复数体。还有其他形式的体，例如有理。
奥斯特洛夫斯基定理是一个关于有理数域绝对赋值的定理。于1916年由亚历山大·奥斯特洛夫斯基证明。该定理说明，任何非平凡的有理数Q的绝对赋值要么等价于通常实数域的绝对赋值，要么等价于p进数的绝对赋值。 定义两个绝对赋值 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} 和 | ⋅ | ∗。
≥﹏≤
全序关係「≤」以及通常的算术运算（加减乘除）；也因此，它们构成了有序域。在严格的集合论意义下，超现实数是可能出现的有序域中最大的；其他的有序域，如有理数域、实数域、有理函数域、列维-奇维塔域（英语：Levi-Civita field）、上超实数域（英语：Superreal。
在数学中，高斯有理数（英语：Gaussian rational）是指实部与虚部都是有理数的复数；形如 p + q i {\displaystyle p+qi} 的复数，其中 p {\displaystyle p} 和 q {\displaystyle q} 都是有理数。所有高斯有理数的集合构成了高斯有理数域，可表示为。
设F是一个域，Q,R,C{\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} }分别为有理数、实数与复数域。F(a)表示在F中添加元素a生成的域扩张。 F/F是平凡扩张，也是可分正规扩张，即伽罗瓦扩张。其伽罗瓦群Gal(F/F)是只包含一个元素（即恒等映射）的平凡群。。
(天文学)，表示两个轨道周期的比例在数学上是否是有理数 超晶格结构（英语：Superstructure (condensed matter)）中，可通约性指周期性材料特性是否在一段距离上重复，该距离在数学上与晶胞的长度相称 可通约性 (经济学)，关于经济价值是否都能用金钱来衡量的概念 可通约性 (伦理学)，伦理中价值的可通约性。
另外一种构造实数的方法，间接地用到了有理数的排序。首先，有理数x和y之间的距离定义为绝对值|x − y|，其中绝对值|z|定义为z和−z的最大值，因此总是非负的。这样实数便被定义为关於这个距离的具有柯西序列性质的有理数序列。也就是说，每一个实数都是一个柯西收敛的数列（x0，x1，x2，。）。这是一个从自然数到有理数。
发表评论